Последовательности Голда. – ЧАСТЬ 1

Одной из основных целей разработ ки кодов расширения спектра является нахождение множества форм сигналов таких, которые позволят как можно большему числу пользователей работать ‘ общей полосе частот с наименьшими взаимными помехами (телекоммуникаци онные системы на базе технологии CDMA рассматриваются в разделе 2.6)

Одним из важных и полезных в указанном смысле семейств кодов являются последовательности Голда, характерная особенность которых – фиксированный и контролируемый уровень взаимной корреляции между кодами, формируемы­ми с помощью единого генератора на основе РСЛОС. Рассмотрим принцип по­строения множеств последовательностей Голда, основываясь на [43-45].

Определение. Будем говорить, что последовательность а есть «децимация» [43] последовательности а, если каждый из символов а получен периодической выборкой каждого q-то символа из а. При этом часто используют запись: а= a[q].

Пусть а является М-последовательностью длины N, а последовательность а’ получена ее децимацией. Известно [43], что любая a’=a[q] имеет период N тогда и только тогда, когда НОД (N, q) = 1 (НОД – наибольший общий делитель). Пара М-последовательностей, имеющих одинаковый период N, может быть свя­зана соотношением a’=a[q] для некоторого q. При этом М-последовательности а и а’ называют предпочтительной парой [43] при совместном выполнении сле­дующих условий:

–          пфО (mod 4), т.е. п – нечетное или п = 2 (mod 4);

Взаимная корреляционная функция такой пары последовательностей может принимать только три значения [43,44]:

–          а = a[q], где q – нечетное число, равное q = 2* + 1 или q = 2 – 2k + 1;

При конструировании последовательностей Голда предпочтительным парам отводится роль «строительного материала». Предположим, последовательности а и а – предпочтительная пара М-последовательностей с периодами N=2"-1. Тогда множество из N+1 последовательностей, формируемых в соответствии с правилом

где D – оператор задержки,

называют кодом Голда для предпочтительной пары а и а’. За исключением этих двух, остальные N-1 последовательностей не являются последователь­ностями максимальной длины. Поэтому их автокорреляционные функция не двузначны, а могут принимать три значения из числа определяемых формулой (2.45). Это же выражение определяет возможные величины взаимных корре­ляций любой пары последовательностей из N+1 последовательностей Голда длиной N [43].

Пиковое значение взаимной корреляции последовательностей Голда в <Jl выше известной границы Уэлча для нечетных п и вдвое – для четных [44].

Целесообразно сказать несколько слов о методе выбора предпочтительных пар. Пусть а – любой примитивный элемент поля Галуа GF(2"). Далее, пусть fx(D) – неприводимый полином степени п с корнем a (fx(D) называют минималь­ным полиномом а) и пусть ДО) – минимальный полином аКп), где обе функции, и fx{D) и ДО), имеют степень п. Тогда последовательности, порождаемые полино­мами СО) и ДО), являются предпочтительными М-последовательностями. Со­гласно [44], характеристическим полиномом суммы этих последовательностей является/(DYfD). Отсюда получают [44] правило задания структуры обратных связей регистра сдвига, порождающего последовательности с указанным огра­ничением на уровень ВКФ. Характеристические полиномы предпочтительных пар обычно табулируются (см., например, [46]).

На рис. 2.45 показана процедура генерирования 33 последовательностей кода Голда, N= 31, путем суммирования выходов двух РСЛОС. Полное семей­ство кодов Голда с помощью этого генератора можно получить, используя раз­личные начальные состояния регистра. Период любой кодовой последователь­ности из этих семейств равен N, как и у М-последовательностей.

Рис. 2.45. Пример генерирования кода Голда длины N=31

2.5.2.4. Последовательности Касами. Семейства последовательностей Ка- сами также известны благодаря их хорошим корреляционным свойствам [44]. Различают малое множество последовательностей Касами и большое множе­ство последовательностей Касами.

Первое множество состоит из М=2"12 последовательностей длины iV=2"-l, где п – четное, и порождается процедурой, подобной той, что используется для


построения кодов Голда. Отличие заключается в том, что последовательность • формируется из М-последовательности а децимацией через 2"’Ч\ элементов ° Последовательность а\ получаемая путем подобной децимации, также яв ляется М-последовательностью с периодом 2"/2-1. Например, если период а пш /7=10 равен N=1023, то период последовательности а’ составляет vV=25-l=31 На протяжении периода последовательности а последовательность а’, таким обра­зом, повторяется 33 раза. Малое множество Касами включает последовательность а и все последовательности, полученные ее сложением по модулю два с каждым из 2"/2-2 циклических сдвигов последовательности а , периодически повторенным 2и/2+1 раз сумме это дает 2"-1 элементов, что равняется периоду а). Нетрудно подсчитать, что общее число формируемых таким образом последовательностей длиной N=2"-\ (размер малого множества Касами) составляет 2"п.

Если М-последовательности а и а порождаются полиномамиДД) и /(D), то все элементы малого множества Касами могут генерироваться PCJIOC, структу­ра которого описывается порождающим полиномом f(D)ft(D) [44].

Функции авто- и взаимной корреляции последовательностей из малого се­мейства Касами принимают значения из набора {-1, -(2"/2 + 1), 2"/2 – 1}, так что максимальная величина взаимной корреляции удовлетворяет нижней границе Уэлча для множества из 2л/2 последовательностей длиной N=2"-\ [44]. Отсюда следует, что корреляционные свойства последовательностей малого множества Касами являются оптимальными.

Большое множество Касами состоит из последовательностей периода 2"-1 для четных п, включая в себя как подмножества все последовательности Голда и малое множество Касами той же длины, а также последовательности расши­рения множества Касами.

Предположим, М-последовательности а’ и а" получены путем децимации последовательности а через 2"/2+1 и 2("+2)/2+1 элементов соответственно. Тогда большому множеству Касами принадлежат все последовательности, получен­ные сложением по модулю два трех последовательностей а, а’ и а", с учетом всех возможных циклических сдвигов а’ и а". Общее число таких последова­тельностей составляет М= 23"/2 при п=0 (mod 4) и М=23л/2+2"/2 при п=2 (mod 4). Авто- и взаимно корреляционные функции последовательностей из большого множества Касами принимают пять значений: {-1, -1±2"/2, -1±2и/2+1}.

Для ВКФ последовательностей большого множества Касами справедливо тождество |0с(&)|тах<2("+2)/2. Граница Уэлча при этом не достигается [44], однако плотность упаковки пространства сигналов здесь даже выше, чем у кодов Гол­да. Если/'(£)) – порождающий полином а", то все последовательности большо­го множества Касами имеют порождающий полином вида                                                                                                                                  t44^

Вы можете следить за любыми ответами на эту запись через RSS 2.0 ленту. Вы можете оставить ответ, или trackback с вашего собственного сайта.

Оставьте отзыв

XHTML: Вы можете использовать следующие теги: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

 
Rambler's Top100